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非定常ラプラス方程式

やっぱ定常ってなんか見た目に地味ってことで、非定常にしてみました。


{\frac{\partial \phi}{\partial t}-k\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = 0}

拡散方程式チックに、係数もつけてみました。
定常と同じように重み付け残差法で弱形式化した後、ガラーキン法で離散化します。がりがり書いて行けば


{M\frac{\partial \Phi}{\partial t}-K\Phi = 0}

の形まで持っていけるはず(行列がイタリック表記になってるのが不快…)。このときの行列Mの計算はちょっとめんどくさい。面積分をまじめに解かないといけない。三角形要素や四面体要素については面積座標とか体積座標があるから、まあ、どうとでもなるけど。そうじゃない場合は座標変換してからガウスルジャンドル法か何かで数値積分しないといけないのかな。

時間の離散化は差分で解く。前進差分でも後退差分でもクランク・ニコルソン法でもどうでもいいけど、精度と計算時間を考えると陰解法である後退差分かクランク・ニコルソン法がいい気がする。あくまで気分。実際は比較してないし不明。


定常計算のコードがすでに出来上がっていたら、質量マトリクスMの計算だけ付け足して、時間発展のためにさらにループを付け足せば、できあがり。30分くらいで終わります。超お手軽…。